Resumo Este trabalho apresenta uma análise comparativa da estabilidade elástica de placas enrijecidas longitudinalmente com enrijecedor plano e com geometria clothoidal, utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF). O estudo considera modelos submetidos a tensões normais com diferentes razões de tensões ψ, posição do enrijecedor, rigidez e variações da geomtria clothoidal em função do passo e_x . Para as simulações com modelos acima da rigidez ótima não houve diferença nos coeficientes de flambagem k entre as geometrias comparadas. Já considerando enrijcedores flexíveis, identificou-se que a parte clothoidal confere um aumento nos valores de k que atinge o valor ótimo mais rapidamente influenciado pelo valor do passo ex. Enrijecedores clothoidais com e_x de 200 mm apresentaram valores de k cerca de 20% maiores que os respectivos enrijecedores planos, enquanto que para ex de 400 mm tem‐se valores 36% superiores.

1 Introdução

A utilização de placas esbeltas de aço enrijecidas pode proporcionar uma adequada capacidade resistente e eficiente consumo de material. Na construção civil, placas esbeltas de aço são aplicadas principalmente em estruturas projetadas para vencer grandes vãos, como pontes e viadutos.

As seções transversais de pontes mistas de aço e concreto, normalmente do tipo I ou caixão (Figura 1), podem ser decompostas em elementos de placa.

Dentre os fenômenos que devem ser considerados no dimensionamento de estruturas com placas esbeltas de aço tem‐se a instabilidade, que pode ocorrer em regiões comprimidas. No estudo da instabilidade, os conceitos sobre flambagem e principalmente, a determinação da tensão crítica elástica de flambagem são necessários. O cálculo da tensão crítica elástica depende de vários parâmetros, como condições de contorno, carregamento, geometria e esbeltez da placa. No intuito de aumentar a tensão crítica elástica, em situações com tensão normal, enrijecedores longitudinais podem ser aplicados.

O emprego de enrijecedores em placas esbeltas eleva a tensão crítica de flambagem, proporciona um menor consumo de material em opção ao aumento da espessura, possibilita a escolha de diferentes formatos de seção transversal e a alocação na posição mais adequada em relação às tensões de compressão. A Figura 2 exemplifica a aplicação de placas de aço enrijecidas em estruturas de pontes com seção transversal do tipo I e caixão.

A geometria clothoidal vem sendo aplicada em conectores de cisalhamento do tipo composite dowels em estruturas mistas de aço e concreto (Figura 3). Esse tipo de conector pode substituir, com melhor desempenho, os tradicionais conectores pino com cabeça (stud bolts) ou ainda ser confeccionado em almas de perfis sem mesas superiores. Feldmann et al. (2016), Kopp et al. (2018) e Kozuch e Lorenc (2020) apresentam significativas contribuições sobre o comportamento e dimensionamento de conectores com geometria clothoidal. Ademais, em 2013 foi concluída a aprovação técnica alemã Z‐26.4‐56:2013 que regula a utilização desses conectores.

Por se tratar de um conector em chapa contínua, o presente trabalho propõe o emprego desse elemento como enrijecedor em estruturas mistas, em situações que antecedem a concretagem, como a fase construtiva. Como exemplo de aplicação tem‐se a parte inferior de vigas caixão (Figura 2b), com concretagem posterior, nas quais as chapas longitudinais com formato clothoidal (em substituição ao enrijecedores fechados inferiores da Figura 2b) são utilizadas na fase antes da concretagem como enrijecedores (como mostrado na Figura 4) e como conectores após a concretagem.

Uma série de trabalhos são encontrados na literatura sobre flambagem de placas enrijecidas aplicadas como almas de vigas esbeltas. Dubas (1948) foi um dos primeiros a apresentar uma solução geral para placas enrijecidas longitudinalmente submetidas à flexão e simplesmente apoiadas, indicando uma posição ótima de um quinto da altura da alma, na região comprimida, resultado também encontrado por Rockey (1958). Outros estudos, como Rockey and Leggett (1962), Cooper (1967), Rockey e Cook (1965)¹, Rockey e Cook (1965)², Azhari e Bradford (1993) ampliaram os estudos com diferentes condições de apoio e número de enrijcedores.

Mais recentemente, estudos como os Alinia e Moosavi (2008), Maiorana et al. (2009), Pellegrino e Modena (2011), Cho e Shin (2011), Ferreira Filho (2019) e Vu et al. (2019) estudaram vários parâmetros, como a distribuição de tensões, posição, número e forma dos enrijecedores, aumentando a compreensão sobre o comportamento de placas de aço esbeltas enrijecidas longitudinalmente.

Este trabalho tem como objetivo desenvolver um estudo numérico analisando a estabilidade elástica de placas enrijecidas longitudinalmente com enrijecedores de formato clothoidal, tendo por base a possibilidade de que os conectores sejam utilizados como enrijecedores em situações precedentes à concretagem. O estudo compara o comportamento de placas com o enrijecedor clothoidal e o tradicional de seção retangular, plano, considerando a distribuição de carregamento (variando de flexão a compressão uniforme), posição do enrijecedor, influência da rigidez e distintas razões de aspecto das placas.

2 Fundamentação teórica
A Tensão crítica de flambagem

O deslocamento lateral para uma placa retangular com bordas simplesmente apoiadas, submetida à compressão uniforme uniaxial (Figura 5), pode ser descrito pela conhecida equação diferencial seguinte:

1

Onde NX é a força na direção longitudinal e D é a rigidez da placa dada por:

2

 Onde, E é o módulo de elasticidade do material; t é a espessura da placa e  υ  é o coeficiente de Poisson.

A equação diferencial (1) tem uma solução do tipo:

3

Substituindo‐se a solução na equação diferencial e aplicando as condições de contorno, a força crítica é dada por:

4

A equação (4) pode ser escrita para a tensão crítica e substituindo‐se a rigidez D da placa tem‐se:

5

sendo kσ o coeficiente de flambagem elástica dado por:

6

onde,  α  é a razão de aspecto igual a a/b; m é o número de semi‐ondas na direção longitudinal, isto é, na direção de atuação da força de compressão; n é o número de semi‐ondas na direção transversal da placa. A Figura 6 apresenta configuração deformada com m = 2 e n = 1.

2.2 Rigidez e propriedades dos enrijecedores

A inserção de enrijecedores em placas esbeltas provoca um acréscimo no valor da tensão crítica sem a necessidade de alterar a geometria da placa. Esse aumento é incorporado no coeficiente de flambagem, k, dependendo da rigidez e posição do enrijecedor associado à rigidez da placa. Nesse sentido, g é a propriedade que relaciona a rigidez à flexão do enrijecedor com a rigidez da placa, D, já que, especialmente em enrijecedores de seção aberta a rigidez a torção pode ser desconsiderada. A rigidez relativa à flexão pode ser calculada de acordo com a seguinte equação:

7

Na qual, D é a rigidez da placa determinada pela Equação (2); Is é o momento de inércia do enrijecedor longitudinal, que é determinado pela área bruta da seção transversal do enrijecedor As, acrescida de uma largura efetiva do painel adjacente ao enrijecedor. De acordo com a norma EN 1993‐1‐5:2006, esse comprimento que deve ser somado é dado por 15εt de cada lado, sendo√(235/fy ), onde fy é a tensão de escoamento do aço em MPa.

   Um enrijecedor pode ser dimensionado de maneira a atingir uma rigidez à flexão suficiente para manter uma linha nodal que se mantém reta durante a flambagem da placa dividindo o painel em subpainéis, nesse caso tem‐se um enrijecedor rígido e o modo de flambagem é local dos subpainéis. Já quando o enrijecedor se desloca lateralmente em conjunto com a placa, este é chamado de enrijecedor flexível e o modo de flambagem é global. Sendo assim, a rigidez ótima (ou rigidez mínima) g* é tida como o menor valor da rigidez relativa g para o qual o enrijecedor permanece reto quando a flambagem da placa acontece.

• Geometria clothoidal

Conectores composite dowels são formados por recortes em chapas de aço, sendo a forma clothoidal uma das geometrias utilizadas em estruturas mistas de aço e concreto. Segundo Kopp et al. (2018) as maiores vantagens em relação ao conector pino com cabeça (stud bolt) é a maior capacidade de carga e de deformação, mesmo para concretos de alta resistência, sendo considerado um conector flexível, podendo ser mais econômico e versátil em várias situações. O seu processo de fabricação é por meio de corte a gás e além de diversos estudos, como os citados no capítulo de introdução, a utilização desse tipo de conector é estabelecida pela aprovação técnica alemã Z‐26.4‐ 56:2013 atualizada em 2018.

A aprovação técnica alemã Z‐26.4‐56:2013 estabelece a geometria do formato clothoidal em função do passo ex (Figura 7). Ainda de acordo com a norma, esse passo deve estar entre 150 e 500 mm.

• Modelo de análise

Para o desenvolvimento das análises numéricas foi utilizado o software ABAQUS (SIMULIA, 2014) que utiliza o Método dos Elementos Finitos (MEF), por meio de uma de suas funções de análise de perturbação linear que resolve problemas de autovalor. Assim, o coeficiente de flambagem k pode ser determinado por meio da Equação 5.  

 Considerou‐se um carregamento distribuído simétrico utilizando a função shell edge load do ABAQUS, com magnitude unitária, isto é, a força é aplicada nas duas faces da placa em direções opostas. As condições de contorno foram adotadas de maneira a simular uma placa simplesmente apoiada ao longo de suas bordas, atendendo as devidas condições de equilíbrio. Sendo assim, as bordas em ambas as direções foram restritas na direção normal ao plano da geometria (eixo x), além disso, as respectivas rotações associadas aos apoios nas bordas foram restritas, conforme pode ser observado na Figura 8. Por fim, com o intuito de evitar o problema de movimento de corpo rígido, os pontos médios de cada borda (pontos 3 e 4) foram restringidos.

O enrijecedor plano tem largura bs e espessura ts, enquanto o enrijecedor clothoial é composto por uma parte plana com largura também bs, acrescida de uma parte de geométrica clothoidal com dimensões em função do passo ex espessuratambém igual a ts(Figura 9). Adotou‐se nesse estudo como padrão para comparação uma espessura fixa ts= 10 mm e a mesma largura bs ao se comparar enrijecedores plano e clothoidal, sendo o diferencial o acréscimo de geometria em função de ex. Neste estudo, a rigidez relativa y é calculada considerando apenas as partes planas dos enrijecedores, ou seja, não se considera, a princípio, a influência da parte clothoidal na rigidez.

Utilizou‐se para os modelos de placa esbelta elementos finitos do tipo S8R, quadrilaterais do tipo casca com 6 graus de liberdade por nó, com 8 nós e método de integração reduzida. Quanto ao tamanho base do elemento, avaliou‐se a sensibilidade e referências da literatura e por fim foi adotada uma malha com elementos de lado iguais a 50 mm, o que corresponde a b/40, conforme Figura 10.

3.1 Validação

A validação foi realizada para casos de placas enrijecidas com enrijecedores planos. Sendo que o modelo de referência é representado por uma placa quadrada com lados a = b = 2000 mm, espessura t = 6 mm, largura e espessura do enrijecedor bs= 80 mm ets= 10 mm, respectivamente e d é a distância do enrijecedor à borda comprimida da placa. Foi considerado um aço com módulo de elasticidade E = 210.000 MPa, coeficiente de Poisson υ = 0,3 e tensão de escoamento fy = 235 MPa, sendo que este parâmetro não é utilizado diretamente na análise, apenas para definição da largura efetiva a ser considerada no cálculo de Y.

Modelos sob efeito de flexão pura, isto é, ψ = ‐1, para as condições de placa quadrada simplesmente apoiada e longitudinalmente enrijecida em função da posição do enrijecedor, determinada como a distância da borda superior da placa até o centro da seção do enrijecedor, foram validados com os estudos de Alinia e Moosavi (2008) que realizou estudo numérico e analítico por meio do método da energia para placas enrijecidas sob flexão e o estudo numérico por meio de MEF para diversas formas de enrijecedores de Maiorana et al. (2011), além de análises realizadas pelo software EBPlate 2.01. A figura 11 mostra a comparação entre as especificadas curvas, sendo que para o caso de placas não enrijecidas o modelo numérico apresentou diferença relativa de 0,02% em relação aos valores encontrados por Alinia e Moosavi (2008) e, também, pelo EBPlate 2.01, já em comparação o estudo de Maiorana et al. (2011) a diferença encontrada foi de 1,47%. Considerando o enrijecedor na posição 0,2b, que representa os maiores valores de k, as diferenças foram de 1,23%, 0,54% e 0,27% em comparação com Alinia e Moosavi (2008), Maiorana et al. (2011) e EBPlate 2.01, respectivamente.

Como o intuito deste trabalho é fazer um estudo para diferentes parâmetros, a modelagem com outras razões de tensões (ψ = ‐0,5 a ψ = 1) também foram validadas.

Nesse caso, os resultados foram comparados com o estudo de Maiorana et al. (2011) e com valores obtidos por meio de análise com o software EBPlate 2.01, com resultados bem próximos para quase todas as situações (Figura 12).  

 As diferenças mais significativas foram encontradas em trecho da curva para ψ = ‐0,5, chegando a 39,68% para o valor de k no ponto de maior discrepância, isto é, na posição d/b = 0,25, se comparado com os resultados obtidos por Maiorana et al. (2011) Conforme pode ser observado na Figura 12.a), houve também uma mudança em relação a posição ótima para o caso, enquanto o modelo numérico e os resultados pelo programa EBPlate indicam um melhor desempenho para o enrijecedor localizado a uma posição próxima de d/b = 0,25, a curva obtida por Maiorana et al. (2011) tende para um melhor desempenho na posição mais próxima de d/b = 0,30. Contudo, ressalta‐se que os resultados foram obtidos por softwares e algumas considerações distintas (forças aplicadas diretamente nos nós, dimensões maiores e número de nós por elemento), e ainda, os resultados coincidiram para todas as demais comparações, o que significa que tal diferença não indica inconsistência dos modelos.

4 Resultados e discussões

Para comparar e identificar diferenças no comportamento de painéis enrijecidos com enrijecedores longitudinais e com a geometria clothoidal, as análises foram conduzidas considerando dois padrões de enrijecedores clothoidal, determinados em função de ex igual a 200 e 400 mm, nomeados neste trabalho de CL200 e CL400, respectivamente.

A primeira parte da análise foi realizada na situação em que o enrijecedor confere rigidez relativa suficiente para ser considerado rígido, ou seja, ocorre o modo de flambagem local e o coeficiente de flambagem k atinge um patamar em que não há mais ganho significante com o acréscimo de Y.

Já a Figura 13 mostra os modos de flambagem para placas sob flexão pura não enrijecida e enrijecidas com Y = 30,9 para modelos com enrijecedores plano, CL200 e CL400 localizados na posição d/b = 0,2. Para as condições enrijecidas, os modos de flambagem local são idênticos, com o mesmo número e intensidade de meias‐ondas.

 De acordo com a Figura 14, nessas condições não houve diferenças significativas no comportamento de placas com o enrijecedor plano convencional e com os enrijecedores compostos com a geometria clothoidal, sendo que os valores do coeficiente de flamabagem k coincidiram entre os 3 tipos analisados, para qualquer posição do enrijecedor na região comprimida, desde o caso de flexão pura, flexo‐compressão e compressão uniforme.

Avaliou‐se também o comportamento proporcionado pela parte clothoidal do enrijecedor em função da posição para diferentes faixas Y (Figura 15). Nessa etapa se considerou apenas modelos submetidos a flexão, o caso em que há maior variação e valor máximo de coeficiente de flambagem k. Os resultados vão ao encontro a estudos anteriores como Alinia e Moosavi (2008) e Maiorana et al. (2011), que indicam que à medida que o momento de inércia do enrijecedor Ic aumenta, a posição ótima se direciona para aproximadamente 0,2b e o valor de k tende a um patamar.

Sendo assim, também se identificou que a parte da geometria clothoidal, com enrijecedores trabalhando como flexíveis, leva a maiores valores de k para as mesmas larguras planas bs e consequentemente a uma convergência mais rápida para a posição ótima e valores máximos de k. E ainda, a geometria CL400 apresentou acréscimos maiores que a CL200, apontando que quanto maior o passo ex, e consequentemente maiores dimensões do formato e menos repetições, maiores são os valores do coeficiente de flambagem k (Figura 16).

A Figura 10 mostra o comportamento do coeficiente de flambagem k em função da rigidez relativa g, apresentando um aumento nos valores de k para um mesmo valor de rigidez e o patamar limite de k é atingido com menores valores de rigidez em função do acréscimo da parte clothoidal e do passo ex. Na prática, isso infere que a parte clothoidal confere um acréscimo de rigidez, o que significa que os valores calculados considerando apenas a parte plana dos enrijecedores são subestimados.

A Figura 17 demonstra a influência da geometria clothoidal nos modos de flambagem para a situação de flexão pura, sendo que ambos os modelos preservam as mesmas dimensões e largura d do enrijecedor, com uma rigidez relativa Y = 12,4. A Figura 17.a mostra um modelo com enrijecedor plano levando a um k = 113,42 e com modo de flambagem global, a Figura 17.b um modelo CL200 com k = 137,76 e ainda em modo de flambagem global e a Figura 17.c um modelo CL400 com k = 150,82  já atingindo o modo de flambagem local.

Estabelecendo‐se a razão entre os coeficientes de flambagem k entre os modelos com enrijecedor plano e os modelos CL200 e CL400 para um mesmo valor de rigidez relativa (Tabela 1), valores aproximadamente 24% maiores para os modelos CL200 em relação ao plano e de aproximadamente 40% para os modelos CL400 em relação ao convencional foram observados. Essa tendência constante prevalece em uma faixa intermediária com flambagem global até o momento em que os modelos se aproximam da rigidez ótima, quando os valores de k tendem a um patamar.

A figura 18 mostra a relação k versus g para os modelos com enrijecedores plano, CL200 e CL400 para várias razões de aspecto a/b e submetidos à flexão pura. Conforme observado para a razão de aspecto a/b = 1 (Figura 16), painéis com a/b igual a 0,6, 0,8, 1,4 e 1,8 enrijecidos com enrijecedores longitudinais com a presença da parcela geométrica clothoidal apresentam um acréscimo nos valores de k se comparados ao enrijecedor do tipo chapa com a mesma largura plana , porém não alteram os valores limites de k. Ressalta‐se ainda, que os painéis CL400 apresentam valores um pouco maiores em comparação com os painéis CL200 paras todas a razões a/b, devido ao acréscimo de rigidez pela geometria extra.

5 Conclusão

O estudo identificou que enrijecedores longitudinais compostos com uma parte plana e uma parte clothoidal não alteram os valores limites do coeficiente de flambagem k, independentemente da posição do enrijecedor e razão de tensões ψ, se comparado ao formato plano convencionalmente utilizado. Isso significa que a geometria clothoidal não aumenta e nem diminui o desempenho máximo do painel enrijecido.

 Contudo, constatou‐se que a parte extra clothoidal confere um aumento na tensão crítica e consequentemente nos coeficientes de flambagem k, nos modelos com enrijecedores flexíveis, isto é, com rigidezes menores que a rigidez ótima e com partes planas iguais. Esse aumento ocorre com a influência da parte clothoidal em função do parâmetro ex , que determina as dimensões dessa geometria.

 Para o caso de um painel com razão de aspecto a/b = 1, submetido à flexão pura (ψ = ‐ 1,0) e enrijecido com um enrijecedor clothoidal com ex igual a 200 mm, o coeficiente k é em torno de 24% maior que o plano, enquanto com ex de 400 mm os valores de k são aproximadamente 40% maiores.

 Ao se utilizar painéis com razões de aspecto diferentes, a influência dos enrijecedores com formato clothoidal é análoga a situação de a/b = 1, com valores máximos de k similares para todas a razões a/b, contudo, os valores de Y* são maiores, à medida que a razão a/b aumenta. Considerando apenas a parte plana de um enrijecedor clothoidal no cálculo da rigidez relativa, estes modelos apresentam valores de rigidez ótima menores.

 Nesse sentido, conclui‐se que os enrijecedores com geometria clothoidal trabalham como se fossem enrijecedores de seção retangular convencionais, contudo, com um acréscimo de rigidez g em função de sua geometria extra, que por sua vez, tem suas dimensões definidas pelo parâmetro ex.

O estudo apresenta resultados preliminares de placas enrijecidas com a geometria clothoidal funcionando unicamente como enrijecedor em situação precedente a aplicação do concreto. Nesse sentido, o intuito de futuros trabalhos é avançar para casos com a presença do componente concreto, analisando a sua influência na estabilidade do elemento estrutural misto de aço e concreto.  

Agradecimentos: Os autores agradecem o apoio concedido pela CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico), FAPEMIG (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais) e UFMG (Universidade Federal de Minas Gerais).

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Envolvidos no Projeto: Jorge Fernando dos Reis1 , Denise Aparecida Barbosa¹, Rodrigo Barreto Caldas1 1 Departamento de Engenharia de estruturas, Universidade Federal de Minas Gerais, reisjorgef@gmail.com, rbcaldas@gmail.com, denbarbosa@yahoo.com.br

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Essa materia foi retirada da Revista da Estrutura de Aço – Volume 11 | Número 03 | Ano 2022 confira tudo na integra: https://www.cbca-acobrasil.org.br/revista-da-estrutura-de-aco-rea/

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